Analytische Lösung

Prüfen wir nun also die Ergebnisse mit Hilfe der analytischen Gleichungen für die bekannten Biegefälle.

Das Flächenträgheitsmoment ergibt sich zu

\[ I=\frac{b\,h^3}{12}=\frac{30\,\mathrm{mm}\,(30\,\mathrm{mm})^3}{12}=67500\,\mathrm{mm}^4 \]

Durchbiegung

Für den Fall des zweiseitig gelagerten Balkens mit Linienlast können wir die Durchbiegung berechnen nach:

\[ u_{max}=\frac{5\,q\,L^3}{384\,E\,I}=\frac{5\cdot1000\,\mathrm{N}\,(1000\,\mathrm{mm})^3}{384\cdot210000\,\mathrm{MPa}\cdot67500\,\mathrm{mm}^4}=0{,}919\,\mathrm{mm} \]

Success

Dieser Wert stimmt gut mit dem Wert aus unserer Simulation mit \(u_{max,Simulation}=0{,}922\,\mathrm{mm}\) überein. Bei einer Verschiebung von \(\approx 1 \mathrm{mm}\) ist eine Abweichung von \(3 \mathrm{\mu m}\) akzeptabel.

Maximale Spannung

Die maximale Biegespannung kann folgend berechnet werden:

\[ \sigma_{max}=M_{Max}\frac{\frac{h}{2}}{I} \]

Mit dem maximalen Biegemoment zu:

\[ M_{Max}=\frac{q\,L}{8}=\frac{1000N\cdot1000\,\mathrm{mm}}{8}=125000\,\mathrm{Nmm} \]

Kann die maximale Biegespannung berechnet werden:

\[ \sigma_{max}=M_{Max}\frac{\frac{h}{2}}{I}=125000\,\mathrm{mm}\frac{(30\,\mathrm{mm})/2}{67500\,\mathrm{mm}^4}=27{,}78\,\mathrm{MPa} \]

Success

Auch dieser Wert stimmt sehr gut mit Wert aus unserer Simulation mit \(\sigma_{max,Simulation}=27{,}789\,\mathrm{MPa}\) überein.