Kragarm mit Einzelkraft¶

Die zweite Übung ist auch ein klassisches Beispiel der Technischen Mechanik: ein Kragarm mit Einzelkraft. Diesmal mit andererem Material (Alu), leicht anderer Geometrie, kleinerem Netz und anderer Lagerung (feste Einspannung).

Gegeben¶

Material¶

Aluminium

Elastizitätsmodul \(E=70 \mathrm{GPa}\)
Querkontraktionszahl \(\nu=0{,}34\)

Geometrie¶

Balken mit rechteckigem Querschnitt

Länge \(L=500 \mathrm{mm}\)
Breite \(b=30 \mathrm{mm}\)
Breite \(h=60 \mathrm{mm}\)

Vernetzung¶

Netzgröße global: 5 mm

Randbedingungen¶

Lagerung:

Feste Einspannung auf der Stirnseite links

Belastung:

Kraft \(F=3000 \mathrm{N}\) auf der Kante rechts

Hinweise¶

Neue Analyse anlegen

Im Workbench Projektmenü Doppelklick auf Static Structural und anschließend in Übung 2 umbennen.

Lagerung: Feste Einspannung

Bei einer festen Einspannung werden alle Freiheitsgrade auf der Stirnseite (Fläche) links untedrückt.

Gesucht¶

Die maximale Durchbiegung \(u_{\max }\) in mm¶

Die maximale Spannung in y-Richtung \(\sigma_{y, \max }\) in MPa¶

Analytische Lösung¶

Vergleichen wir den Spannungswert mit der analytischen Lösung. Dafür brauchen wir das maximale Moment:

\[ M_{M a x}=F L=3000 \mathrm{~N} \cdot 500 \mathrm{~mm}=1.500.000\,\mathrm{Nmm} \]

Das Flächenträgheitsmoment ergibt sich wieder aus:

\[ I=\frac{b h^3}{12}=\frac{30 \mathrm{~mm}(60 \mathrm{~mm})^3}{12}=540.000 \mathrm{~mm}^4 \]

\[ \sigma_{\max }=M_{M a x} \frac{\frac{h}{2}}{I}=1.500.000\,\mathrm{Nmm} \frac{(60 \mathrm{~mm}) / 2}{540.000 \mathrm{~mm}^4}=83{,}3\,\mathrm{MPa} \]

Starke Abweichung!

Scheinbar gibt es eine sehr große Abweichung zur analytischen Lösung. Den Grund dafür schauen wir uns jetzt an.

Singularität an einer festen Einspannung¶

Auf der Stirnseite werden durch den Fixed Support (oder Displacement mit x=0,y=0 & z=0) alle Verformungen unterdrückt. Normalerweise würden sich in diesem Bereich der Querschnitt auf Grund der Querkontraktion verformen:

Durch die sprunghafte Änderung der Randbedingung an den Ecken entsteht dort eine Singularität. Die Spannung an der Singularität steigt mit immer kleinere Netzgröße immer weiter an:

An solchen Singularitäten dürfen die Spannungen also nicht ausgewertet werden. Wie können wir diese also verhindern?

Alternative Randbedingungen für feste Einspannung ohne Singularität¶

Um den Unterschied zur Fixed Support zu sehen fügen wir eine weitere Analyse hinzu:

Neue Analyse anlegen

Im Workbench Projektmenü: Static Structural per Drag&Drop auf Übung 2 umbennen.

Kraft-Randbedingung kopieren

Im Mechanical: Im Strukturbaum erscheint jetzt eine zweite Analyse, die sich mit der ersten die Geometrie, das Material und das Netz teilt. Randbedingungen und Lösungen sind jedoch separat

Um die Kraft nicht neu einzugeben kann die Randbedingung Force kann per Drag&Drop auf die Static Stuctural gezogen werden

Randbedingung Frictionless Support einfügen

Im Mechanical: Auf die Fläche der Einspannung die Randbedingung Frictionless Support anbringen.

Dadurch kann sich die Fläche nur noch in der x-z Ebene bewegen

Randbedingung Remote Displacement einfügen

Im Mechanical: Auf die Fläche der Einspannung die Randbedingung Remote Displacement anbringen.

Im Detailfenster Verschiebungen und Rotationen auf Null setzen.

Dadurch wird dauch die Bewegung des gesamten Querschnitts in der x-y Ebene unterdrückt, jedoch kann sich der Balken im Querschnitt trotzdem verformen.

Die maximale Spannung in y-Richtung \(\sigma_{y, \max }\) in MPa¶

Berechnen Sie nun erneut die Spannung:

Hier noch mal die neue Lösung im Vergleich mit unterschiedlichen Netzgrößen