Ebener Spannungszustand

Unser nächstes Thema ist die erste „richtige“ Abstraktionsmöglichkeit: die 2D-Abstraktion.
Dabei wird das 3D-Modell um eine Dimension reduziert und nur noch als Ebene/Fläche betrachtet.

In diesem Fall ist die reduzierte Dimension – die Dicke des Balkens in z-Richtung – deutlich kleiner als die übrigen Bauteilabmessungen. Man spricht dann von einem ebenen Spannungszustand.

Vergleich zum ebenen Verzerrungszustand

Wir schauen uns nun wieder das Beispiel mit dem Balken auf zwei Stützen an, um den Unterschied zwischen ebenem Spannungszustand und ebenem Verzerrungszustand zu verdeutlichen. Ziel ist es, die Durchbiegung und die dadurch entstehenden Spannungen zu bestimmen.

Wie oben gelernt, betrachten wir beim ebenen Spannungszustand einen Schnitt, in dem die Dicke sehr gering ist (z-Richtung klein). Die Balkenlänge bleibt im 2D-Modell erhalten – die Biegelinie \(w(x)\) kann sich also ganz normal ausbilden. Das passt zu unserem Balkenbeispiel.

Beim ebenen Verzerrungszustand ist es genau umgekehrt:
Hier wird angenommen, dass sich das Bauteil in einer Richtung praktisch nicht verformen darf (\(\varepsilon = 0\)) und alle Größen entlang dieser Richtung konstant sind. Man modelliert also einen Querschnitt eines „sehr langen“ Körpers, der sich in Längsrichtung nicht dehnt.

Übertragen auf unser Balkenbeispiel:
Wenn wir den Balken so abstrahieren, dass gerade seine Längsrichtung zur „eingefrorenen“ Richtung des ebenen Verzerrungszustands wird, kann sich im Modell keine Krümmung mehr einstellen – es gibt keine Biegelinie und damit keine realistische Durchbiegung. Für die Berechnung der Durchbiegung ist der ebene Verzerrungszustand daher ungeeignet; hier ist der ebene Spannungszustand die richtige Abstraktion.

Merksatz

Ebener Spannungszustand:
Dicke viel kleiner als die Querschnittsmaße
(z. B. Balken von der Seite, dünne Platten/Bleche)

Ebener Verzerrungszustand:
Ausgedehnte Richtung viel größer als die Querschnittsmaße, Dehnung in dieser Richtung ≈ 0
(z. B. Staudamm im Querschnitt, sehr lange Tunnel-/Rohrsegmente)